詳細解答つきの問題を335題収録！ フーリエ解析の考え方と使い方を，これ一冊で解きながら学べます． フーリエ級数などの基礎から，線形システム・通信理論・境界値問題などへの応用までを，「定義や性質，用語の確認⇒演習で定着」という流れで一貫して
フーリエ変換の性質（講義では取り扱わなかった） 線形性，微分，たたみこみなど フーリエ変換の応用（時間があれば後日） 偏微分方程式（境界値問題など） 離散時間フーリエ変換，fft →ディジタル信号処理への応用 問題: 円周Tの2m個の各点θj でgの値g(θj) がわかるとき，円周T全体でgを近 似する三角多項式Qm(g,θ)で，もとの2m個の点では値が一致する自然な補間近似関 数Qm(g,θ)を求めよ．さらに，Qm(g,θ)はg(θ)にどれだけ近いか？ フーリエ級数と固有関数展開 5.1 フーリエ級数 [a; a] を周期とする関数 f (x) を 3 角関数の級数 f (x)= a 0 2 + 1 X n =1 a n cos n x a b sin) (5: 1) と表せたとする。この展開 (5.1) をフーリエ級数展開という。ここで係数 a 0;a 1;.. .;b 2 はどう決めればよいか、またこの級数 3.1楕 円形断面の一様な棒のねじり問題 実平面(亀9)座 標における曲線境界を有する問題を 矩形格子の(ξ,η)に写像変換し,写像平面上において差 分解析を行う.曲 線境界を有するモデルの正解値が明 らかな問題として,図-1に 示すような楕円形断面の が与えられた場合(初期値問題)は u(x,t) = 1 2 [f(x+ct)+f(x−ct)]+ 1 2c Z x+ct x¡ct g(s)ds (ストークスの波動公式) で求めることができる。特に, c = 1で, ut(x,0) = g(x) = 0の場合は u(x,t) = 1 2 [f(x+t)+f(x−t)] となる。 ※初期条件と境界条件で解が求まる。 波動方程式の問題 問題 に対する固有値問題について考察する. ここで, ポテンシャルq(x) は(−∞;∞)上の実数値連続関数であるとする. このシュレーディンガー方程式の固有関数系を用いてL2(−∞;∞) の関数をフーリエ式級数に展開することに関する一般展開定理につ
9.2 級数 91 9.2 級数 級数の収束 複素数を項とする級数!∞ n=1 z n の収束性は，部分和 S n = z1 +z2 +···+z n (9.10) からつくられる数列{S n} の収束性で定義する。すなわち，数列{S n} がS に収束す るとき，級数!∞ n=1 z n は極限値（級数の和）Sに収束するといい!∞ n=1 フーリエ級数の項で学習するように、任意の波は、式13 のような形に、様々な周波数のsin 成分とcos 成 分に分解することができる。 また、+x 方向に伝搬する波と、−x 方向に伝搬する波との重ねあわせの原理も成り立つ。 f (x,t)= X n + 波 周期的境界条件 (m 1, m 2, m 3: 整数) N 1 N 2 N 3 結晶は N 1 x N 2 x N 3 個の 単位胞からなる :波数ベクトル が互いに逆格子ベクトル だけ異なるもの同士を結びつける ：格子の周期性を持つ を一次元熱方程式の初期値境界値問題という. ただしf(x) は既知の関数とする. (B0) を 0 境界条件, (B1) を断熱境界条件という. 3.3 初期値境界値問題のFourier級数を用いた解法 初期値問題(IBVPH0) の解をFourier 級数展開を用いて構成してみよう. ヴィル型境界値問題（regularSturm-Liouvilleboundary valueproblem）の最も単純なケースである．一般に，正則 スツルム・リゥヴィル型境界値問題の解集合は 上の 正規直交基底系を形成するという事実はよく知られている [11‐13]．ここで， 番目の固有値 は，周期的 冊子PDF版 : 冊子PDF版; 座談 第6回 演算子の固有値問題とフーリエ級数展開 Part 3 (r,\theta)$座標系で表記すると，境界 2質点の連成振動の固有値と固有モードを求める(プチテスト3の再出題) 3質点の連成振動の固有値と固有モードを求める(L07) 計算問題を含むFourier級数変換(L11,L12) Fourier級数変換を利用した初期値問題の解(L10,L12) 進行波解(L13) 3
＃フーリエ級数で関数形を正確に表すには，項数を非常に多く取らなければならない． 図2：(a) 4 ˇ sint, (b) 4 ˇ sint+ 4 3ˇ sin3t, (c) 4 ˇ sint+ 4 3ˇ sin3t+ 4 5ˇ sin5t, (d) n → ∞ 1.2 複素フーリエ級数 フーリエ級数を使って解析を行う場合，三角関数よりも複素数の指数 フーリエ級数やフーリエ変換を用いて、明らかにする 波が関係する物理学、化学、工学の分野で幅広く活用 以降の内容 f(x) フーリエ級数： 周期関数を三角関数の級数として表す x フーリエ変換（フーリエ積分） 周期関数でないより 般的な関数への f(x) 、 一 フーリエ級数と偏微分方程式 新居俊作 2020 年5 月7 日 1 熱方程式 一直線に伸びた針金を熱が伝わる現象を考える。熱は放射では針金の 外に逃げないと仮定する。針金の方向をx 軸に取り時刻t における各点 x での温度をu(t;x) で表す。 xx+Dx heatheat 図1.1: フーリエ級数の収束すなわち，(1.3) の等号が成り立つ一つの十分条件は フーリエ級数の収束条件 (−π,π) で定義された関数f(x) が区分的に滑らかならば，f(x) のフーリエ級数は (1) f(x) が連続な点では，f(x) に収束する。 (2) f(x) が不連続な点では，1 2 23.2次元空間での初期値境界値問題（2） 2次元の波動方程式の初期値境界値問題 （要点）：2次元の波動方程式の円領域での初期値境界値問題を，変数分離法によっ て，各変数毎の常微分方程式に帰着し，三角関数とベッセル関数を利用して，初期 フーリエ級数の利点は次のような問題を考えると分かりやすい．今，別の地点に信号f(t) を送りたいとする．送り手は，信号f(t) 7をそのまま送るのではなく，f(t)をフーリエ級数 展開し，その係数a0;a1;b1; ;aK;bK の値だけを相手に送る．受け取った側は，送られて
F.1.2 定数変化法で解く. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 F.2 一般の2階線形常微分方程式の境界値問題のGreen
とき,初 期値問題. 弊. =α. (ι)″・b(ι), ″(0)=="o∈. R. の解は,区間p,∞)上でただ一つ存在することを示せ. 問題は次ページに続く. り. を. を. 平. ＜ (3)ル(π)のフーリエ級数展開に対してパーセバルの等式を適用すると,ど の ーン境界上の波数の格子振動の. 次精度中心差分法を用いる x方向は 512点，フーリエ級数. スペクトル選点法を用いる y，z 境界条件は x方向. には未燃気体が流入し，既燃気体が流出する境界条件として した値である.乱流燃. 焼の問題において逆勾配拡散の存在が理論的にも実験的に. 2018年2月8日 徹太郎 (広 島 大 工). 非線形楕円型方程式の固有値問題の漸近解析と逆分岐問題の 周期的点集合の平均テータ級数からの決定問題に現れる 2 次形式の問題. について 超幾何型調和多様体と球 Fourier 変換論 ··························· 10. 30 坊 向 伸 隆 一般化三角関数の非局所境界値問題への応用 ······················· 10. 6 藤 本 皓 大 講演スライドをPDFファイルにしてUSBメモリへコピーしてお. く, 書画カメラ 2008年4月13日 この文章では, フーリエ級数–多項式関数展開を利用した 2 次元円盤領域での流体. 計算のため ために, 2 次元円盤領域での拡散型方程式のさまざまな境界条件に対する解を (で 半径 ao の円盤内の 2 次元領域での拡散問題を考える. 2.4 加速度ポテンシャルと初期値問題の定式化 . の条件式を与えるので，以上の式に適当な初期条件，境界条件を課せば，一般力学と同様に流場が決定 それを (2.7) 式の定義に従ってフーリエ逆変換すれば周期的わき出しによる速度ポテンシャル，す 上に示した E1(ζ) は積分指数関数であり，その級数展開や漸近展開式はよく知ら. ところで音響解析では、空間を離散化する有限要素法（FEM）に加えて、空間の境界面のみを離散化する境界要素法（BEM）も そこで本資料では、FMBEMを使用して求めた周波数応答解析結果から、フーリエ級数展開を用いたアプローチで過渡データを得 この問題では、点音源から放射された球面波が、地面や壁などで反射し、様々な経路で評価点に到達する様子を計算しました。 ＞＞PDFでダウンロード ＆ ほかの資料も見る 一方,ここでの境界値問題は,法線流速で規定. される Neumann 問題であるから,攪乱 級数展開式と遠方での漸近展開式を示す。更に,. 実際の境界積分方程式法に用いる,G 性を表す第1項については, Fourier の重複積分. 定理により,z=0を含む > の領域